RPS - Prawdopodobieństwo warunkowe - zadania

I. Prawdopodobieństwo warunkowe, warunkowa przestrzeń probabilistyczna (drzewka) Zad. 1. Młodej, obiecującej tenisistce ojciec obiecuje (na zachętę) nagrodę jeśli wygra 2 kolejne mecze z 3 granych z nim samym oraz mistrzem osiedla. Szanse na wygranie pojedynczego meczu z mistrzem są mniejsze niż z ojcem. Zawodniczka może zagrać w kolejności OMO lub MOM. Którą powinna wybrać? Ćw. 2. Zad. 2. Problem Monty Hall'a Gracz w teleturnieju wybiera jedną z 3 zasłon, za jedną z nich jest samochód, za pozostałymi nic nie ma (w większości opisów tego zadania występują kozy, wedle uznania prowadzącego). Prowadzący odsłania jedną z pozostałych dwóch zasłon i pokazuje, że niczego za nią nie ma (ew. jest koza), po czym daje graczowi szansę na zmianę wyboru. Czy gracz powinien zmienić swój wybór? Jakie by było prawdopodobieństwo wygrania przy zmianie gdyby drzwi było 100 a prowadzący odsłoniłby wszystkie poza wskazanymi i jednymi dodatkowymi? Ćw. 2. Zad. 3. W 3-osobowym pojedynku trzech kawalerów A, B, C strzela do wybranego przez siebie przeciwnika w kolejności A, B, C cyklicznie, aż zostanie tylko jeden. Przypuśćmy, że A trafia z prawdopodobieństwem 0.3, B zawsze trafia, a C z prawdopodobieństwem 0.5. Jaką strategię powinien przyjąć A? Uwaga: Zakładamy, że pozostali strzelcy wybierają racjonalnie, tzn. tak aby maksymalizować swoje szanse. Zad. 4. Dylemat więźnia Trzech więźniów A,B,C. A, główny bohater, dowiedział się, że dwóch więźniów zostanie ułaskawionych, ale nie wie o których więźniów chodzi. Chciałby o to zapytać strażnika, ale ponieważ nieelegancko jest pytać w takiej sytuacji o siebie, prosi go o ujawnienie jednego z ułaskawionych więźniów spośród B,C. Strażnik odmawia twierdząc, że w ten sposób zmniejszyłby szansę A na ułaskawienie z 2/3 do 1/2, a nie chce tego robić, bo lubi A. Czy strażnik słusznie odmawia? Zd. 1. -> ćw. 3. Zad. 5. Na inżynierii oprogramowania 16 studentów ma być podzielonych na 4 zespoły. Pośród nich jest 4 pracujących, z doświadczeniem w projektowaniu dużych systemów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z nich trafi do innej grupy? Wskazówka: przez wzór na iloczyn prawdopodobieństw: P(A_1,A_2,...,A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_n|A_1,...,A_{n-1}) Zd. 2. -> ćw 3. Zad. 6. Wybieramy losowo nr z ks. tel. i dzwonimy. Pytamy osobę, która odbierze czy ma dwójkę dzieci, ona odpowiada, że tak. Pytamy, czy ma syna, ona odpowiada, że tak. Jakie jest p-stwo, że drugie dziecko też jest chłopcem? Zad. 7. Trzy rodzaje kart: czarno-czarna, czarno-biała i biało-biało. Pokazano ci losową stronę losowej karty i jest ona czarna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga strona też jest czarna? Ćw. 3. II. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Zad. 1. Grasz w turnieju szachowym, w którym z 1/2 graczy masz szansę wygrania 0.3, z 1/4 graczy szansę 0.4 i z 1/4 graczy szansę 0.5. Pierwszą partię rozgrywasz z losowym przeciwnikiem. Jakie sa twoje szanse wygrania? Ćw. 3. Zad. 2. Model urnowy Polyi W urnie są dwie kule: biała i czarna. (n-2)-krotnie losujemy kulę z urny, po czym wrzucamy ją z powrotem wraz z drugą kulą tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po zakończeniu losowań wśród n kul dokładnie k jest białych? Zad. 3. n urn, w i-tej jest i-1 kul białych i n-i czarnych, losujemy urnę, a potem losujemy z niej dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że są to kule różnych kolorów: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem. III. Tw. Bayesa Zad. 1. Kontynuacja zadania 1 w poprzedniej serii. Przypuśćmy, że udało ci sie wygrać pierwsza partię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że grałeś z graczem 3-go rodzaju? Ćw. 3. Zad. 2. Szpital przeprowadza test na rzadką chorobę, na którą choruje 1 na 1000 osób. Test zawsze wykrywa chorych, przy czym daje pozytywną fałszywą odpowiedź w 3% przypadków. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że osoba, u której test da wynik pozytywny jest jednak zdrowa? Zad. 3. Mamy 3 telefony, wiadomo, że jeden zawsze działa, drugi nigdy nie działa (ale zjada monety), a trzeci działa z p=1/2 (w pozostałych przypadkach zjada monety). Próbujemy zadzwonić z jednego z automatów i zjada on monetę, zmieniamy automat, znów próbujemy, tym razem się udaje, próbujemy znów tym samym i znów się udaje. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon z którego zadzwoniliśmy 2 razy jest tym, który zawsze działa? Czy odpowiedz zmieniłaby się, gdyby nie było w zadaniu pierwszej (nieudanej) próby na innym telefonie? Zad. 4. W sejmie mamy dwie partie. Posłowie partii A nigdy nie zmieniają zdania na żaden temat, a każdy z posłów partii B zmiena zdanie pomiędzy na temat głosowanej ustawy pomiędzy dwoma jej głosowaniami z prawdopodobieństwem p. Wiadomo, że posłowie partii A stanowią frakcję f wszystkich posłów, pozostali pochodzą z partii B. Obserwujemy losowego posła i głosuje on w ten sam sposób w dwóch kolejnych głosowaniach. Jakie jest prawdopodobieńswo, że pochodzi z partii A? Zad. 5. W jednej urnie są 2 czerwone kule i 1 czarna, w drugiej 101 czerwonych i 100 czarnych. Ktoś losuje urnę (nie wiadomo którą), z tej urny losuje kulę i mówi jakiego jest ona koloru. Następnie z tej samej urny losowana jest druga kula, przy czym możesz zażądać, aby uprzednio pierwsza kula wróciła do urny. Twoim zadaniem jest zgadnąć z której urny są losowane kule. Jak należy to rozegrać? Zad. 6. Doświadczenie Laplace'a N+1 urn, w i-tej urnie jest i kul białych i N-i kul czerwonych, dla i=0,...,N. Losujemy urnę, a następnie z tej urny n-krotnie jedną kulę ze zwracaniem. Przypuśćmy, że za każdym razem była to kula czerwona. Jaka jest szansa, że kolejna kula wylosowana z tej urny jest czerwona? Dygresja: Laplace użył tego rozumowania do argumentowania na temat prawdopodobieństwa, że słońce następnego dnia wzejdzie na podstawie tego, że zrobiło to odpowiednio wiele razy wcześniej.